regola carattere

statistica descittiva

• introduzione
• medie
• indici di variabilità
• analisi multrivariata

introduzione

• universo
• carattere
• modalità
• frequenza
• distribuzione unitaria
• distribuzione di frequenze
• frequenze relative
• frequenze percentuali
• frequenze cumulate
• n e k

introduzione

Con il termine statistica intendiamo quella branca della matematica che studia, in termini sia qualitativi, sia quantitativi, un fenomeno collettivo. Essa analizza il metodo di raccolta, di sintesi e di rappresentazione dei dati inerenti appunto un fenomeno collettivo.

Dobbiamo al filosofo giurista e storico tedesco Gottfried Achenwall (1719 - 1772) il merito di aver coniato il termine statistica, intesa come scienza degli stati in quanto scienza finalizzata a trattare dati utili a governare meglio.

Per approcciarci alla scienza statistica bisogna premettere alcuni concetti chiave:

• Universo statistico.
• Carattere.
• Modalità.
• Frequenza.

universo

L'universo o popolazione statistica è l'insieme delle unità statistiche convolte da un'indagine.

È pertanto il gruppo interessato dall'indagine.

L'unità statistica è quindi ciascun elemento del gruppo che l'indagine osserva.

campione

Un campione è un sottoinsieme rappresentativo dell'intero universo.

Se l'universo è particolarmente ampio da rendere troppo dispendiosa se non impossibile l'indagine, si può decide di indagare un suo sottoinsieme, detto appunto campione, che sia rappresentativo dell'insieme di appartenenza, ovvero ne conservi le caratteristiche.

Visto che i delicati criteri che determinano la scelta di un campione statistico, prescindono il presente discorso approcciativo e costituiscono il campo di pertinenza della statistica induttiva, ci soffermiamo soltanto nell'evidenziare che le osservazioni di una indagine svolta sull'intero universo sono verificate, mentre l'indagine svolta su un campione fornisce una loro stima.

carattere

Il carattere è quella proprietà che l'indagine osserva sulle unità statistiche coinvolte dall'indagine

È pertanto l'oggetto dell'indagine stessa.

Si indica con una lettera maiuscola e se l'indagine osserva un unico carattere per unità statistica, questo si indica con la lettera X, se ne osserva due il secondo si indica con la lettera Y.

Il carattere si classifica in:

• quantitativo.
• qualitativo.

carattere quantitativo

Esprime una caratteristica di natura quantitativa, ovvero di tipo numerico (come il numero di figli, il peso, ecc.)

Si distinguono due tipi di carattere quantitativo:

discreto

carattere che assume valori numerici discreti (come il numero di componenti del nucleo familiare, le taglie dei pantaloni, ecc.).

continuo

carattere che assume valori numerici continui (come la temperatura misurata alle ore 6:00, la quota in metri sopra il livello del mare, ecc.).

 

carattere qualitativo

Esprime una caratteristica di natura qualitativa, ovvero di tipo non numerico (come il colore dei capelli, il genere maschile o femminile, ecc.).

Si distinguono due tipi di carattere qualitativo:

ordinabile

carattere facente parte di una scala ordinata (come i giudizi da insufficiente ad ottimo, le classi di rating attribuite dalle apposite agenzie, ecc.).

sconnesso

carattere a cui non è attribuibile un ordine (come i titoli di studio, le marche delle autovetture, ecc.).

 

modalità

La modalità è il modo in cui il carattere si presenta nell'unità statistica.

Le modalità sono pertanto i dati che l'indagine ha osservato.

Queste si indicano in generale con una x minuscola, e per distinguere la prima dalla seconda ecc. si pone un indice numerico in pedice (x_i), pertanto x₁ indica la prima modalità, x₂ la seconda e se in tutto sono n, x_n indica l'ultima.

frequenza

Una volta raccolte tutte le modalità si possono organizzare secondo diverse distribuzioni.

Portiamo ad esempio una indagine statistica avente come:

universo

i dieci rappresentanti di classe di un istituto superiore.

carattere

numero di animali domestici.

 

Dopo aver svolto tutte le 10 interviste, si sono ottenute altrettante modalità. Le si possono rappresentare in due modi:

distribuzione unitaria

Si ripete ciascuna modalità x_i così come la si è osservata:

xi	x
x1	3
x2	1
x3	2
x4	2
x5	1
x6	2
x7	2
x8	3
x9	2
x10	3

e si potrebbe anche decidere di porle in ordine crescente:

xi	x
x1	1
x2	1
x3	2
x4	2
x5	2
x6	2
x7	2
x8	3
x9	3
x10	3

distribuzione di frequenze

la frequenza assoluta indica quante volte la modalità si ripete.

Rappresentando le modalità secondo una distribuzione di frequenze, invece che ripetere quelle uguali, si indicano una sola volta e si associa loro una frequenza assoluta (detta anche peso) che indica quante volte ciascuna di esse si ripete:

xi	x	f	fi
x1	1	2	f1
x2	2	5	f2
x3	3	3	f3
	n:	10

Tra i 10 rappresentanti, 2 possiedono un animale domestico, 5 ne possiedono 2 e gli altri 3 ne possiedono 3.

A ben vedere, le distribuzioni unitarie si possono immaginare come distribuzioni di frequenze ove le frequenze valgono tutte 1:

xi	x	f	fi
x1	1	1	f1
x2	1	1	f2
x3	2	1	f3
x4	2	1	f4
x5	2	1	f5
x6	2	1	f6
x7	2	1	f7
x8	3	1	f8
x9	3	1	f9
x10	3	1	f10

frequenze relative

La frequenza relativa è il rapporto tra quella assoluta ed n (il numero delle unità statistiche).

Nell'esempio sopra, a possedere 2 animali domestici, erano in 5, ma 5 è tanto o poco? Risulta facile intuire che, visto che l'indagine ha riguardato 10 persone, 5 su 10 sono la metà, ma se l'indagine ne avesse interessate 5000, allora 5 avrebbe avuto un'importanza ben minore ($\frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\%; \frac{5}{500} = \frac{1}{100} = 0.01 = 1\%$).

x	f	fr
1	2	2/10
2	5	5/10
3	3	3/10
∑	10	10/10

frequenze percentuali

Moltiplicando per 100 la frequenza relativa si ottine la frequenza percentuale.

x	f	fr	f%
1	2	0.20	20%
2	5	0.50	50%
3	3	0.30	30%
∑	10	1	100%

frequenze cumulate

Le frequenze cumulate sono una somma progressiva delle frequenze Si possono indicare per ogni tipo do frequenza. La prima frequenza comulata è uguale alla prima frequenza che si sta cumulando, si aggiunge quindi, la seconda, la terza e così via sino all'ultima che corrisponderà alla somma si tutte le frequenze

x	f	fc	fr	fr c	f%	f% c
1	2	2	0.2	0.2	20%	20%
2	5	7	0.5	0.7	50%	70%
3	3	10	0.3	1	30%	100%
∑	10		1		100%

Chiedendosi ad esempio quanti siano i rappresentanti a possedere massimo 2 animali risponderemmo:

• 7 (2ª frequenza assoluta cumulata).
• 0.7 (2ª frequenza relativa cumulata).
• 70% (2ª frequenza percentuale cumulata).

n e k

Da ora in avanti indicheremo con:

• n il numero delle unità statistiche
• k il numero delle modalità

Nell'esempio portato sin ora, sono 3 le diverse modalità (un animale, due animali e tre animali) ed altrettante le rispettive frequenze (2, 5 e 3), quindi:

• k = 3 (modalità)
• n = 2 + 5 + 3 = 10 (unità statistiche)

In generale:

$n = f_1 + f_2 + ... + f_k = \underset{i=1}{\overset{k}{\sum f_i}}$

note

• Se le modalità sono rappresentate come distribuzioni unitaria, allora k = n, se invece, le modalità rilevate si ripetono, rappresentandole come distribuzione di frequenze, allora k < n.
• Si è anticipato il simbolo Σ il cui significato verrà precisato tra poco, quando si parlerà di sommatoria.